Psychrometrie im wissenschaftlichen Diskurs: Von klassischen Theorien zur Präzisionsformel nach Dr. Dieter Sonntag

Zusammenfassung

Die Psychrometrie – die Lehre von der Messung und Berechnung der Luftfeuchtigkeit mithilfe eines Psychrometers – stellt ein fundamentales Werkzeug der Meteorologie, Gebäudephysik und Verfahrenstechnik dar. Dieser Beitrag beleuchtet die zugrundeliegenden physikalischen Theorien des befeuchteten Thermometers, leitet die Psychrometerkonstante her, vergleicht verschiedene psychrometrische Grundgleichungen und diskutiert abschließend die aktuell genaueste Formulierung nach Dr. Dieter Sonntag, die den heutigen Standard der World Meteorological Organization (WMO) definiert.

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1. Einleitung: Das Psychrometer als Messprinzip

Das Aspirationspsychrometer nach Assmann – bestehend aus zwei parallel angeordneten Thermometern, von denen eines mit einem wassergetränkten Docht umgeben ist – nutzt den Effekt der Verdunstungskälte zur Bestimmung der Luftfeuchte. Während das trockene Thermometer die aktuelle Lufttemperatur *t* (Trockentemperatur) anzeigt, stellt sich am feuchten Thermometer eine Temperatur t_w (Feuchttemperatur) ein, die stets ≤ *t* ist. Die Differenz Δ*t* = *t* – t_w ist ein direktes Maß für die Trockenheit der Luft.

Um aus dieser Differenz den tatsächlichen Wasserdampfdruck e der Umgebungsluft zu berechnen, ist eine geschlossene thermodynamische Theorie erforderlich. Im Folgenden werden die historisch konkurrierenden Ansätze vorgestellt und in einem konsistenten Rahmen zusammengeführt.

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2. Theorien zum Wärme‑ und Stofftransport am feuchten Thermometer

2.1 Klassische Analogietheorie

Die früheste quantitative Beschreibung stammt von Dalton (1802) und später Stefan (1873). Sie postuliert eine Analogie zwischen dem konvektiven Wärmetransport und dem diffusiven Stofftransport. Der Wärmestrom Q̇ vom umgebenden Gas an das feuchte Thermometer ist proportional zur Temperaturdifferenz, der Stoffstrom ṁ (verdunstende Wassermenge) proportional zur Differenz der Wasserdampfdichten:

Q̇ = α A (*t* – t_w) und ṁ = β A (ρ_w,sat(t_w) – ρ_w)

mit α als Wärmeübergangskoeffizient, β als Stoffübergangskoeffizient, A als Oberfläche. Im stationären Gleichgewicht ist die zugeführte Wärme gleich der Verdunstungsenthalpie: Q̇ = Δ*h_v · ṁ. Durch Gleichsetzen und Umrechnung der Dichtedifferenz in eine Druckdifferenz (mittels idealer Gasgleichung) erhält man die psychrometrische Grundgleichung:

*e* = E(t_w) – A · *p* · (*t* – t_w)

mit dem Psychrometerkoeffizienten A = (α / (β · Δ*h_v)) · (R_w/R_L) . Die Analogietheorie liefert für A einen Wert von etwa 0,66 × 10⁻³ °C⁻¹ für das Aspirationspsychrometer – in guter Übereinstimmung mit der Erfahrung.

2.2 Konvektions‑ und Leitungstheorie

Eine alternative Herleitung (etwa nach Carrier 1918) betont die Rolle von Konvektion und Wärmeleitung in der laminaren oder turbulenten Grenzschicht. Sie führt zu einer formal identischen Gleichung, allerdings mit einer anderen Interpretation der Konstanten. Praktisch unterscheiden sich die berechneten Werte von A nur marginal.

2.3 Theorie irreversibler Prozesse (Prigogine, De Groot)

Die konsequenteste thermodynamische Fundierung liefert die lineare Thermodynamik irreversibler Prozesse. Sie behandelt Wärme‑ und Stofffluss als gekoppelte Phänomene, die durch die Entropieproduktion beschrieben werden. Für das stationäre Psychrometer ergibt sich die gleiche Form wie in der Analogietheorie, jedoch ohne die Annahme einer formalen Analogie der Übergangskoeffizienten. Entscheidend ist: Sind die thermische Diffusivität und die Stoffdiffusivität des Gemisches identisch (was für Wasser‑Luft näherungsweise gilt), fallen alle drei Theorien zu einem identischen Ausdruck zusammen.

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3. Die Psychrometerkonstante A: Herleitung und experimentelle Werte

3.1 Theoretische Herleitung

Die fundamentale Beziehung für den stationären Zustand lautet:

α (*t* – t_w) = Δh_v · β · (ρ_w,sat(t_w*) – ρ_w)

Unter Verwendung der idealen Gasgesetze für Wasserdampf (*e* = ρ_w R_w T) und nach der Lewis‑Beziehung (für turbulente Strömung ist die Lewis‑Zahl Le = α/(β ρ c_p) ≈ 1) ergibt sich:

A = c_p / (Δh_v · ε)*

mit c_p = spezifische Wärmekapazität feuchter Luft und ε = R_L/R_w ≈ 0,622. Die Temperaturabhängigkeit von Δ*h_v führt zu einer leichten Variation von A mit der Feuchttemperatur.

3.2 Empirische Standardwerte (nach DIN, WMO)

Für die praktische Anwendung werden standardisierte Werte verwendet, abhängig von der Psychrometerbauart und der Belüftungsgeschwindigkeit:

Für Eisoberflächen (t_w < 0 °C) gelten geringere Werte (z. B. 0,584 für das Aspirationspsychrometer), da die Sublimationsenthalpie größer ist.

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4. Die psychrometrische Grundgleichung in ihrer allgemeinen Form

Zusammenfassend lautet die allgemeine Psychrometerformel:

*e* = E(t_w) – A(t_w, *p*) · *p* · (*t* – t_w)

mit
*e* – Wasserdampfdruck der Luft (hPa)
E(t_w) – Sättigungsdampfdruck über Wasser (oder Eis) bei der Feuchttemperatur (hPa)
*p* – Umgebungsluftdruck (hPa)
*t*, t_w – Trocken‑ und Feuchttemperatur (°C)
A – Psychrometerkoeffizient (°C⁻¹)

Die zentrale Herausforderung liegt in der genauen Bestimmung von E(t_w) sowie der korrekten Parametrisierung von A.

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5. Die Weiterentwicklung: Die Psychrometerformel nach Dr. Dieter Sonntag

5.1 Motivation und Kritik an älteren Ansätzen

Dr. Dieter Sonntag (Deutscher Wetterdienst, später FU Berlin) zeigte in einer Reihe von Publikationen (1982 – 1994), dass die bis dahin verwendeten Formeln für den Sättigungsdampfdruck und die Psychrometerkonstante systematische Abweichungen von bis zu 0,5 % r. F. aufwiesen. Insbesondere die Vernachlässigung des Realgasverhaltens von feuchter Luft und die Verwendung der veralteten Temperaturskala IPTS‑68 führten zu Inkonsistenzen.

5.2 Kernbestandteile der Sonntag‑Formeln

1. Magnus‑Formel mit optimierten Koeffizienten (ITS‑90)
   Für den Sättigungsdampfdruck über Wasser im Bereich −45 °C … +60 °C lautet die Magnus‑Erweiterung nach Sonntag:

   E(*t*) = 6,112134 hPa · exp( (17,502 · *t* ) / (240,97 + *t*) ) (für *t* in °C)

   Die Koeffizienten wurden durch Ausgleich an die neuesten Messdaten der International Temperature Scale of 1990 (ITS‑90) gewonnen.

2. Berücksichtigung des Enhancement‑Faktors f_w(t,p)
   Da feuchte Luft kein ideales Gas ist, wird der Sättigungsdampfdruck über einer reinen Wasseroberfläche durch den Enhancement‑Faktor korrigiert:

   E'(t,p) = f_w(t,p) · E(t)

   Sonntag übernahm die von W. Bögel (1975) entwickelte empirische Beziehung:

   f_w = exp( (a + b·t + c·t²) · (p – 1013,25) )

   mit spezifischen Koeffizienten für Wasser und Eis. Diese Korrektur wird vor allem in der Präzisionsmesstechnik unverzichtbar, da sie unter Standardbedingungen etwa 0,05 % relative Feuchte ausmacht – bei erhöhtem Druck (z. B. 2000 hPa) jedoch deutlich größer.

3. Exakte Psychrometerkonstante A(t_w,p)
   Sonntag leitete aus der Thermodynamik irreversibler Prozesse eine temperaturabhängige Formel für A her. Für das Assmann‑Psychrometer und Wasserdampf gilt:

   A(t_w) = 0,662 · 10⁻³ · ( (273,15 + t_w) / 273,15 )^{n}

   mit *n* ≈ 0,5. Zusätzlich wird eine schwache Druckabhängigkeit über den Enhancement‑Faktor berücksichtigt.

5.3 Implementierung in der heutigen Messpraxis

Die WMO hat die Sonntag‑Formeln in den Guide to Meteorological Instruments and Methods of Observation (WMO‑No. 8, Ausgabe 2014, Update 2017) aufgenommen. Moderne digitale Psychrometer (z. B. Ahlborn ALMEMO® D6 mit FNAD‑Sonden) berechnen alle feuchtespezifischen Größen – relative Feuchte, Taupunkttemperatur, Mischungsverhältnis, Enthalpie – online nach dem Sonntag‑Algorithmus. Die so erzielbare Messunsicherheit beträgt für die relative Feuchte ±1 % (im Bereich 20–80 % r. F.), eine Verdopplung der Genauigkeit gegenüber älteren, auf der IPTS‑68 basierenden Geräten.

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6. Diskussion und Ausblick

Die Entwicklung der Psychrometertheorien von den ersten Analogievorstellungen bis hin zur präzisen, realgas‑korrigierten Formulierung nach Sonntag zeigt den typischen Pfad der physikalischen Messtechnik: fortschreitende Verfeinerung durch Einbeziehung immer kleinerer Effekte. Trotz der Verfügbarkeit moderner kapazitiver oder laser‑spektroskopischer Feuchtesensoren behält das Psychrometer seinen Stellenwert als primäres, rückführbares Normal (insbesondere das Taupunktspiegelhygrometer). Die Sonntag‑Formeln stellen heute den Standard der meteorologischen Grundnetze dar und sind die Grundlage für Klimadatenreihen ab den 1990er Jahren.

Zukünftige Arbeiten könnten sich auf die Erweiterung auf den Hochdruckbereich (z. B. für meteorologische Ballonsonden) und die Integration von isotopologischen Effekten (Unterscheidung von H₂¹⁶O und HDO) konzentrieren.

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Literaturhinweise (Auswahl)

• Sonntag, D. (1990): Important new values of the physical constants of 1986, vapour pressure formulations based on the ITS‑90, and psychrometer formulae. Z. Meteorol., 40, 340–344.

• Sonntag, D. (1994): Advancements in the field of hygrometry. Meteorol. Zeitschrift, N.F. 3, 51–66.

• WMO (2014): Guide to Meteorological Instruments and Methods of Observation (WMO‑No. 8), Chapter 4: Measurement of humidity.

• Bögel, W. (1975): Der Enhancement‑Faktor für Wasserdampf in Luft. Ber. Dt. Wetterdienst, Nr. 142.